python中二分法求平方和 python二分法求根号2

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python中二分法求平方和 python二分法求根号2

2024-07-12 15:03| 来源: 网络整理| 查看: 265

解方程方法1. 梯度下降法（Gradient descent）python2. 牛顿迭代法（Newton's method）python3. 二分法

1. 梯度下降法（Gradient descent）

若要求根号下2，即要求解 x^2 - 2 = 0 的根，也就是函数 $python中二分法求平方和 python二分法求根号2_python中二分法求平方和$ 取极小值时 x 的取值。这个也就对应机器学习中的损失函数。

要寻找损失函数的最低点就是找到曲线的最低点。在这里，我们使用了微积分里导数，通过求出函数导数的值，从而找到函数下降的方向或者是最低点（极值点）。

$python中二分法求平方和 python二分法求根号2_python_02$

python中二分法求平方和 python二分法求根号2_机器学习_03

给x一个初始值，然后不断通过下式来更新x就可以逐渐逼近最优的x，这里的a代表步长，也就是学习率。

$python中二分法求平方和 python二分法求根号2_牛顿迭代法_04$

pythonimport random import matplotlib.pyplot as plt class Solutin(): def gradient_descent(self,n): # 随机初始化 x = float(random.randint(1, 100)) # 学习率 lr = 0.00001 # 记录损失 loss = [] # 损失阈值 while (abs(x ** 2 - n) > 0.0000000001): # x(n+1) = x(n) - lr * g(x(n)) x = x - lr * 4 * x * (x ** 2 - n) # 记录损失 loss.append((x ** 2 - n)**2) return loss,x if __name__ == '__main__': n=100 loss,a = Solutin().gradient_descent(n) print( a) # 画损失图 x = range(len(loss)) plt.plot(x, loss, color='b') plt.xlim(0,1000) plt.show()

损失变化图

python中二分法求平方和 python二分法求根号2_python_05

2. 牛顿迭代法（Newton’s method）

它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可解，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

把 f(x )在点x_0 的某邻域内展开成泰勒级数

$python中二分法求平方和 python二分法求根号2_机器学习_06$

取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0

$python中二分法求平方和 python二分法求根号2_牛顿迭代法_07$

以此作为非线性方程的近似方程，则其解为 $python中二分法求平方和 python二分法求根号2_机器学习_08$ 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式： $python中二分法求平方和 python二分法求根号2_牛顿迭代法_09$

假设 f(x) = x^2 - a 可以得到 $python中二分法求平方和 python二分法求根号2_算法_10$ $python中二分法求平方和 python二分法求根号2_算法_11$ $python中二分法求平方和 python二分法求根号2_python_12$

这种方法可以很有效地求出根号 a的近似值：首先随便猜一个近似值 x，然后不断令 x 等于 x 和 a/x 的平均数，迭代个六七次后 x 的值就已经相当精确了。

例如，我想求根号 2 等于多少。假如我猜测的结果为 4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号 2 了：

( 4 + 2/ 4 ) / 2 = 2.25

( 2.25 + 2/ 2.25 ) / 2 = 1.56944…

( 1.56944…+ 2/1.56944…) / 2 = 1.42189…

( 1.42189…+ 2/1.42189…) / 2 = 1.41423…

….

这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用 (x, f(x)) 的切线来逼近方程的根。

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pythonclass sqrt(object): def s(self,x): a = x while a * a > x: a = (a + x / a) / 2 print(a) if __name__ == '__main__': x = 169 sqrt().s(x)85.0 43.49411764705882 23.68985027605849 15.411853548944432 13.188719595702175 13.00135021013767 13.000000070110696 13.03. 二分法

一个数a的平方根小于等于a，使用二分法解决如下

class Solution3(): def mySqrt(self, x): if x==0: return 0 if x==1: return 1 left = 1 right = x while leftx: right = mid - 0.0001 else: left = mid + 0.0001 return right if __name__ == '__main__': print(Solution3().mySqrt(3))

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